摘 要：根據(jù)高速立銑刀容屑槽的幾何特點(diǎn)，建立銑刀徑向截面槽形曲線的通用數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用動(dòng)平衡的基本理論，推導(dǎo)出不等齒距三刃高速立銑刀質(zhì)量偏心和不平衡量的數(shù)學(xué)模型。利用動(dòng)平衡測(cè)量?jī)x測(cè)得不等齒距三刃高速立銑刀的不平衡量，并將其與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果證明質(zhì)量偏心和不平衡量數(shù)學(xué)模型完全可靠。
前言
高速切削是切削加工的發(fā)展方向，是制造技術(shù)中最重要的關(guān)鍵技術(shù)之一。高速切削技術(shù)將大幅提高生產(chǎn)率和加工質(zhì)量，降低生產(chǎn)成本。高速切削時(shí)，由于主軸高速旋轉(zhuǎn)，如果刀具中存在不平衡量，它所產(chǎn)生的離心力將對(duì)主軸軸承、機(jī)床部件等施加周期性載荷，從而引起振動(dòng)，這將對(duì)主軸軸承、刀具壽命和加工質(zhì)量造成不利影響。不等齒距立銑刀是一種新型高性能切削刀具，它能有效地抑制顫振，提高被加工表面質(zhì)量。然而，不等齒距立銑刀的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了銑刀質(zhì)量存在偏心，這將導(dǎo)致銑刀無(wú)法滿足高速加工的要求。
近年來(lái)，國(guó)內(nèi)學(xué)者在不等齒銑刀及刀具動(dòng)平衡方面進(jìn)行了許多有意義的研究。李輝等研究了不等齒距端銑刀的減振機(jī)理和齒間角設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題；付國(guó)華等給出了不等齒距面銑刀齒距分布的典型范例；姜彬在其博士論文中建立了不等齒距面銑刀動(dòng)態(tài)切削力的頻譜模型；王樹(shù)林等建立了高速加工刀具動(dòng)平衡失穩(wěn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)—力學(xué)模型；謝黎明等提出了抑制高速旋轉(zhuǎn)刀具不平衡量的方法。在轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡測(cè)量、自動(dòng)動(dòng)平衡技術(shù)及去重校正技術(shù)等方面，學(xué)者也進(jìn)行了大量的研究。然而有關(guān)高速旋轉(zhuǎn)刀具不平衡量計(jì)算及不平衡量與刀具結(jié)構(gòu)之間關(guān)系的研究還不多見(jiàn)。因此，研究不等齒距高速立銑刀的動(dòng)平衡對(duì)于銑刀結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有重要意義。
1 動(dòng)平衡的基本理論
在機(jī)械理論中，任何繞回轉(zhuǎn)軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的物體稱為轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子不平衡是指轉(zhuǎn)子的慣性主軸與回轉(zhuǎn)軸不一致；轉(zhuǎn)子的不平衡振動(dòng)，是由于其質(zhì)量分布不均衡，使轉(zhuǎn)子上受到的所有離心慣性力的合力及所有慣性力偶矩之和不等于零引起的。修正轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分布，保證轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)的慣性主軸和回轉(zhuǎn)軸相一致，消除由于質(zhì)量偏心而產(chǎn)生的離心慣性力和慣性力偶矩，使轉(zhuǎn)子的慣性力系達(dá)到平衡的過(guò)程即為轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。轉(zhuǎn)子不平衡量和平衡品質(zhì)分別為
式中 U ——轉(zhuǎn)子的不平衡量
m ——轉(zhuǎn)子的質(zhì)量
e ——轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心
G ——轉(zhuǎn)子的動(dòng)平衡品質(zhì)
n ——轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速
2 銑刀質(zhì)量偏心和不平衡量
2.1 銑刀徑向截面槽形曲線的數(shù)學(xué)模型
不等齒距三刃高速立銑刀徑向截面圖及相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)如圖1所示，刃徑d=2R ，齒距差角為θ(θ≤10°)。銑刀容屑槽①、②、③采用相同的砂輪，相同的磨削參數(shù)加工，槽形曲線由一段直線ls和三段圓弧l1、l2 和l3組成，所有曲線段光滑連接。
容屑槽①的設(shè)計(jì)參數(shù)如下：ls 與x 軸正向夾角為銑刀槽前角α ；l1半徑為R1，圓心和原點(diǎn)連線與x軸正向夾角為λ ；l2半徑為R2，保證該處芯厚為Wt ；l3半徑為R3，并滿足槽張角γ 從而保證周刃后刀面的寬度。
圖1 不等齒距三刃立銑刀徑向截面圖
顯然，銑刀徑向截面槽形曲線的數(shù)學(xué)模型可以表示為
式中 pi ——原點(diǎn)到li段圓心的距離與銑刀半徑的比值
λi——原點(diǎn)到li段圓心的有向線段與x軸所成的角度
Ri——li段圓弧的半徑
pi和λi均可表示成槽形設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)。
2.2 容屑槽徑向截面面積和形心坐標(biāo)
圖2 容屑槽徑向截面面積和形心坐標(biāo)計(jì)算示意圖
取銑刀容屑槽①進(jìn)行分析，其坐標(biāo)系如圖2 所示，設(shè)在該坐標(biāo)系中容屑槽內(nèi)外輪廓的方程分別為y = f1(x) 和y = f2(x)，前者即式(3)，后者即外徑圓的方程x2+ y2 = R2。在容屑槽上取平行于y軸，寬度為dx 的微元，則微元的形心位置C0 的坐標(biāo)為(x, f2 (x) / 2 + f1(x) / 2)，容屑槽徑向截面面積S 和形心坐標(biāo)(x1, y1)計(jì)算如下
2.3 銑刀徑向截形的形心坐標(biāo)
設(shè)在圖1 所示坐標(biāo)系中容屑槽②、③的形心坐標(biāo)分別為(x2 , y2 ) 、(x3 , y3) ，則銑刀徑向截形的形心坐標(biāo)
由于容屑槽②、③與容屑槽①的形狀完全相同，根據(jù)坐標(biāo)變換原理，可求得兩者的形心坐標(biāo)，將其代入式(7)并化簡(jiǎn)得
設(shè)銑刀徑向截形的形心向徑為r0，則有
2.4 銑刀質(zhì)量偏心和不平衡量
計(jì)算銑刀重心坐標(biāo)和質(zhì)量偏心之前先作如下假設(shè)：① 銑刀材質(zhì)均勻分布，內(nèi)部無(wú)金相缺陷(夾砂、裂紋、氣孔等)；② 銑刀的尺寸精度高；③ 容屑槽尾部抬刀處引起的質(zhì)量偏心忽略不計(jì)。
設(shè)不等齒距三刃高速立銑刀刃長(zhǎng)為H ，總長(zhǎng)為l ，螺旋角為β ，材質(zhì)密度為ρ 。為計(jì)算方便，新建坐標(biāo)系Ocxcyczc如圖3 所示，圖3 中z軸與銑刀軸線方向重合， x 軸通過(guò)z 軸與徑向截面的交點(diǎn)指向該徑向截面的形心，在銑刀有效刃長(zhǎng)部分任意位置取寬度為dl 的微元，微元質(zhì)心的相位角為α。由于容屑槽為空間螺旋面，微元及其質(zhì)心的位置變化可等效成質(zhì)量dm= ρ (πR2−S)dl 的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r0的圓作螺旋運(yùn)動(dòng)，螺旋線始末兩點(diǎn)相位角度差φ=HR−1tanβ ，據(jù)此可求得有效刃長(zhǎng)部分質(zhì)心的xH、yH坐標(biāo)為
銑刀質(zhì)心的xt、yt坐標(biāo)和質(zhì)量偏心分別為
結(jié)合式(1)推導(dǎo)出銑刀的不平衡量為
根據(jù)銑刀的容屑槽設(shè)計(jì)參數(shù)可計(jì)算出其徑向截形面積S 和形心坐標(biāo)x1、y1，將結(jié)果代入式(13)中進(jìn)一步求出銑刀的不平衡量。
3 不等齒距三刃立銑刀動(dòng)平衡測(cè)試
為了驗(yàn)證不平衡量數(shù)學(xué)模型的正確性，磨制了5支直徑10mm，刃長(zhǎng)16mm，總長(zhǎng)92 mm的不等齒距三刃高速立銑刀，銑刀材質(zhì)為KU44F，密度ρ =14.15 g·mm–3，齒距差角θ =3°，螺旋角β =30°。銑刀實(shí)際槽形設(shè)計(jì)參數(shù)：α =16°， R1= 0.4R ，λ =24°， R2 = 0.2R ， Wt=1.2R ， R3= 0.86R ，γ=110°。
根據(jù)槽形設(shè)計(jì)參數(shù)可求出： S=0.409R2，x1= 0.579R， y1= 0.5R，則有
再將密度、半徑、刃長(zhǎng)、螺旋角和齒距差角的值代入式(14)求得U=0.4 g·mm。經(jīng)BMT200 動(dòng)平衡測(cè)量?jī)x檢測(cè)，5 支銑刀的不平衡量分別為0.30 g·mm、0.34 g·mm、0.36 g·mm、0.4 g·mm和0.5 g·mm，平均值為0.38 g·mm。由于測(cè)量結(jié)果本身存在一定誤差，且理論計(jì)算時(shí)忽略了槽尾抬刀處引起的不平衡量，故由5%的誤差可推斷銑刀不平衡量的數(shù)學(xué)模型是可靠的。
4 質(zhì)量偏心影響因素分析
從式(12)來(lái)看，影響質(zhì)量偏心的因素主要包括銑刀容屑槽設(shè)計(jì)參數(shù)、總長(zhǎng)、刃長(zhǎng)、螺旋角以及齒距差角。以d=10 mm、l=92 mm，以采用前文所述槽形設(shè)計(jì)參數(shù)的三刃不等齒距立銑刀為例，其質(zhì)量偏心e 與螺旋角β 、刃長(zhǎng)H 及齒距差角θ 之間的關(guān)系如下
根據(jù)式(15)，在β 和H 相同的條件下，θ 值越大，質(zhì)量偏心e 越大，即在相同的轉(zhuǎn)速下，刀具轉(zhuǎn)動(dòng)越不平穩(wěn)。因此，要重點(diǎn)研究β 和H 對(duì)質(zhì)量偏心的影響。一般在銑刀的設(shè)計(jì)中，螺旋角β 取值為30 °、35 °、40 °、45 °、50 °、55 °，刃長(zhǎng)取值為d～2d，圖4 是θ = 3 °時(shí)，銑刀質(zhì)量偏心與刃長(zhǎng)和螺旋角之間的關(guān)系曲線。
圖4 質(zhì)量偏心與刃長(zhǎng)和螺旋角之間的關(guān)系
由圖4 可看出：β = 30 °、35°或40°時(shí)，刃長(zhǎng)越小，質(zhì)量偏心越小；β = 55 °時(shí)，刃長(zhǎng)越大，質(zhì)量偏心越小；β = 45 °或50°時(shí)，質(zhì)量偏心在刃長(zhǎng)取1.5d附近值時(shí)出現(xiàn)最大值。刃長(zhǎng)相同時(shí)，螺旋角越大，質(zhì)量偏心越小。
圖5 不等齒距銑刀優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖
5 銑刀優(yōu)化設(shè)計(jì)流程
從理論上講，在高速切削條件下，銑刀不等齒結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)的影響具有兩面性：一方面這種結(jié)構(gòu)具有抑制振動(dòng)的作用；另一方面不等齒結(jié)構(gòu)引起的質(zhì)量偏心有增大振動(dòng)的趨勢(shì)，對(duì)切削過(guò)程產(chǎn)生不利影響。因此，要嚴(yán)格控制高速刀具的不平衡量。通常，高速銑刀要滿足一定的平衡品質(zhì)等級(jí)Gmax，即刀具的質(zhì)量偏心應(yīng)滿足 e≤emax 。為了使不等齒距銑刀能夠滿足動(dòng)平衡的要求，按照?qǐng)D5 所示流程對(duì)銑刀參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。
按照上述流程可成功設(shè)計(jì)制造出整體硬質(zhì)合金不等齒距三刃高速立銑刀，其不平衡量滿足高速切削條件下的使用要求。
6 薄壁側(cè)銑試驗(yàn)及結(jié)果分析
在高速銑削領(lǐng)域，工件多為薄壁件，因此，本次試驗(yàn)采用干切削側(cè)銑(順銑)薄壁的方式進(jìn)行，測(cè)量銑削過(guò)程中產(chǎn)生的切削力和振動(dòng)。加工設(shè)備為五軸加工中心 Mikron UCP1000；測(cè)量設(shè)備為Kistler9272 三向測(cè)力儀和Kistler 5134B 振動(dòng)測(cè)量?jī)x；工件材料是LC4；試驗(yàn)刀具除了不平衡量和結(jié)構(gòu)有所不同外，其他設(shè)計(jì)參數(shù)完全一樣，其編號(hào)見(jiàn)表1。試驗(yàn)分成兩組，A 組薄壁寬度為3 mm、4 mm、5 mm、6 mm、7 mm、8 mm；B 組薄壁寬度為2.0 mm、2.2 mm、2.4 mm、2.6 mm、2.8 mm，具體切削參數(shù)見(jiàn)表2。
試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖6、7，圖中切削力為三向切削力的合力，振動(dòng)為垂直于被加工表面的單向振動(dòng)(該方向振幅最大)，用振動(dòng)加速度大小來(lái)衡量。
從圖6a、7a 可以看出：當(dāng)?shù)毒卟黄胶饬肯嗤瑫r(shí)，不等齒結(jié)構(gòu)對(duì)切削力的影響不大；而對(duì)于同樣結(jié)構(gòu)的刀具，不平衡量的增大會(huì)導(dǎo)致切削力明顯增大。從圖6b、7b 可以看出：不等齒結(jié)構(gòu)具有抑制振動(dòng)的作用，且隨著不平衡量的減小而顯著增大，特別是當(dāng)工件壁厚很小(b=2.0 mm、2.2 mm)時(shí)，采用等齒距銑刀加工會(huì)引起很大振動(dòng)，而不等齒結(jié)構(gòu)會(huì)徹底改變這種不良狀況。
圖6 試驗(yàn)A 結(jié)果對(duì)比
圖7 試驗(yàn)B 結(jié)果對(duì)比
7 結(jié)論
(1) 對(duì)于不等齒距銑刀，不平衡量的影響因素包括容屑槽設(shè)計(jì)參數(shù)、總長(zhǎng)、刃長(zhǎng)、螺旋角以及齒距差角，其中刃長(zhǎng)和螺旋角對(duì)刀具質(zhì)量偏心的影響最明顯。
(2) 不等齒結(jié)構(gòu)能夠抑制振動(dòng)，但對(duì)切削力影響較小。
(3) 刀具不平衡量的增大會(huì)引起切削力和振動(dòng)的明顯增大，對(duì)于高速切削刀具，必須嚴(yán)格控制其不平衡量。
(4) 在高速銑削薄壁件時(shí)，采用不等齒距銑刀進(jìn)行加工具有顯著的優(yōu)勢(shì)。