機械產品的設計, 一般需要經過提出課題、調查分析、技術設計、結構設計、繪畫和編寫設計說明書等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)設計方法通常是在調查分析的基礎上, 參照同類產品, 通過估算、經驗類比或試驗等方法來確定產品的初步設計方案。然后對產品的設計參數進行強度、剛度和穩(wěn)定性等性能分析計算, 檢查各項性能是否滿足設計指標要求。如果不能滿足要求, 則根據經驗或直觀判斷對設計參數進行修改。
整個傳統(tǒng)設計過程是人工試湊和定性分析比較的過程, 因此, 這種方法只能是被動地重復分析產品的性能, 而不是主動地設計產品的參數。而優(yōu)化設計是用數學規(guī)劃理論和計算機自動選優(yōu)技術來求解最優(yōu)化的問題。對工程問題進行優(yōu)化設計, 首先需要將工程設計問題轉化為數學模型, 即用優(yōu)化設計的數學表達式描述工程設計問題。然后, 按照數學模型的特點選擇合適的優(yōu)化方法和計算程序, 獲得最優(yōu)設計方案。
1 優(yōu)化設計及其數學模型
優(yōu)化作為一門學科與技術, 是一切科學與技術所追求的永恒的主題, 旨在從處理各種事物的一切可能的方案中, 尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法, 在科學的、工程的和社會的實際問題中的應用,
這便是優(yōu)化設計。機械優(yōu)化設計則是優(yōu)化設計在一切工程設計應用中的一個方面, 其本質是依據最優(yōu)化的原理與方法, 且通常借助計算技術與計算機這一強有力的手段, 對某項機械設計, 在規(guī)定的各種設計限制條件下, 優(yōu)選設計參數, 使某項或某幾項設計指標獲得最優(yōu)值。它所追求的是最優(yōu)結果、最佳設計等, 所遵循的是一套日益發(fā)展與完善的最優(yōu)化理論與方法。所以, 整個設計過程是一個科學尋優(yōu)的過程。
用一組設計變量描述優(yōu)化設計對象的設計內容、即描述優(yōu)化意圖和有關限制條件的數學表達式,稱為優(yōu)化設計的數學模型。它包含三個要素, 即設計變量、目標函數和約束條件。
設計變量是用一組設計參數的最優(yōu)組合來表示的。設計變量的個數就是優(yōu)化問題的維數。有n 個設計變量x1, x2, !, xn 的優(yōu)化問題, 其維數為n。由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱為設計空間。設計空間中, 點x 就代表一個設計方案(或稱設計點), 以向量表示時, 可記為
x = [ x1, x2,..., xn] T 或x∈ Rn ( 1)
式中Rn——代表n 維實空間。
目標函數f ( x )是反映優(yōu)化意向的關于設計變量的數學表達式, 可用來直接評價優(yōu)化方案的好壞,所以又稱為評價函數。為了規(guī)范化, 優(yōu)化設計數學模型中通常規(guī)定求目標函數的極小值, 即
minf( x )=f(x1, x2,..., xn ) ( 2)
約束條件也稱設計約束, 它是設計變量間或設計變量本身應該遵循的限制條件的數學表達式。約束條件按其表達式可分為不等式約束和等式約束兩種, 即
gj ( x ) ≤ 0( j= 1, 2, ..., m ) hv= 0( v= 1, 2, ..., p ) ( 3)
2 高轉速、高精度數控車床主軸的優(yōu)化設計
主軸部件是機床的執(zhí)行件, 它的功用是支承并帶動工件或刀具, 完成表面成形運動, 同時還起到傳遞運動和扭矩、承受切削力和驅動力等載荷的作用。主軸部件的工作性能直接影響到機床的加工質量和生產率, 是機床中的一個關鍵部件。如圖1所示為經過簡化處理的高轉速、高精度數控車床雙支承主軸的力學模型。主軸支承采用角接觸球軸承, 主軸的最高轉速為8000r/min, 機床主軸的懸臂端受到的切削力F=20000N, 主軸內徑d=40mm, 懸臂端許用撓度y0=0.05mm。要求主軸兩支承跨度350mm≤ l≤ 600mm。外徑70mm≤D≤ 150mm。懸臂端長度80mm≤a≤160 mm。主軸的材料采用40 C r。從機床主軸制造成本和加工精度的要求出發(fā), 需要考慮主軸的自重和外伸段撓度這兩個重要因素。選取主軸的重量最輕為設計目標, 將主軸的剛度作為約束條件。
圖1 主軸力學模型圖
2. 1 設計變量和目標函數
主軸重量設計變量包括主軸的外徑D (因主軸的外徑在其長度內變化不大, D 取其外徑平均值)、孔徑d、兩支承跨度l和外伸段長度a, 如圖1所示。
設計變量為
機床主軸重量最輕優(yōu)化設計的目標函數為
式中p——為材料的密度。
2. 2 約束條件
機床的加工質量在很大程度上取決于主軸的剛度, 主軸的剛度是一個很重要的性能指標。由材料力學可知, 主軸懸臂端撓度為
式中 J ——空心主軸的慣性矩,
E ——主軸的彈性模量,
F ——作用在主軸外伸端的力。
當主軸的旋轉角速度ω達到其橫向振動的固有頻率 ωn 時, 軸將處于共振狀態(tài)?？紤]這種動力穩(wěn)定性, 主軸為單自由度的振動問題, 主軸剛度的約束條件為
三個設計變量的約束條件為
將已知數據代入式( 5)和式( 7), 整理得到
2. 3 優(yōu)化方法與結果
采用內點懲罰函數法求解, 取初始懲罰因子
r(1)=2, 懲罰因子遞減系數e=0.1, 收斂精度ε=10- 6。
取可行域內的初始點X(0)=[500,110,130] T,經過28次迭代計算, 得到最優(yōu)解為
X* = [ x*1 , x*2 , x*3 ] T = [ 353. 285, 81. 533, 83. 652] T
f (X* ) = 1731314. 633mm3
對于上述主軸, 如按傳統(tǒng)的設計方法, 經設計計算, 所得到的軸的體積為2079308.875 mm3 (設計過程略)。通過實例表明, 機床主軸采用優(yōu)化設計較傳統(tǒng)設計, 可使其重量減輕20. 1%。
3. 結束語
通過對機床主軸優(yōu)化設計的研究, 得出如下結論: 利用限制搜索空間、懲罰函數的方法來處理約束條件, 可解決因約束條件多計算量大的問題; 該方法的研究解決了機床主軸優(yōu)化設計的問題, 在實際應用中取得較傳統(tǒng)設計更為滿意的效果。
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